الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\frac{4 r^{2} + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

خطوة 1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $2 r$ من $4 r^{2} + 10 r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $2 r$ من $4 r^{2}$ .

$\frac{2 r (2 r) + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $2 r$ من $10 r$ .

$\frac{2 r (2 r) + 2 r (5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $2 r$ من $2 r (2 r) + 2 r (5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 r - 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 r$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r) - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $- 16$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r + 4 \cdot - 4}{(r - 4) (r + 5)}$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $4$ من $4 r + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

خطوة 1.3

اختزِل العبارة $\frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$(r - 4) (r + 5), 1, r + 5$

خطوة 2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.5

عامل $r - 4$ هو $r - 4$ نفسها.

$(r - 4) = r - 4$

تحدث $(r - 4)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.6

عامل $r + 5$ هو $r + 5$ نفسها.

$(r + 5) = r + 5$

تحدث $(r + 5)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $r - 4, r + 5, r + 5$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(r - 4) (r + 5)$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ في $(r - 4) (r + 5)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ في $(r - 4) (r + 5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $(r - 4) (r + 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 r (2 r + 5) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 r (2 r) + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $5$ في $2$ .

$2 \cdot 2 r \cdot r + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

اضرب $r$ في $r$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1.1

انقُل $r$ .

$2 \cdot 2 (r \cdot r) + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.5.1.2

اضرب $r$ في $r$ .

$2 \cdot 2 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.6

وسّع $(r - 4) (r + 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r (r + 5) - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.1.1

اضرب $r$ في $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.7.1.2

انقُل $5$ إلى يسار $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 \cdot r - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.7.1.3

اضرب $- 4$ في $5$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 r - 4 r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.7.2

اطرح $4 r$ من $5 r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r - 2 \cdot - 20 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.1.9

اضرب $- 2$ في $- 20$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $2 r^{2}$ من $4 r^{2}$ .

$2 r^{2} + 10 r - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.2.2.2

اطرح $2 r$ من $10 r$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $r + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $r + 5$ من $(r - 4) (r + 5)$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

خطوة 3.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 (r - 4)$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r + 4 \cdot - 4$

خطوة 3.3.3

اضرب $4$ في $- 4$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r - 16$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $r$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $4 r$ من كلا المتعادلين.

$2 r^{2} + 8 r + 40 - 4 r = - 16$

خطوة 4.1.2

اطرح $4 r$ من $8 r$ .

$2 r^{2} + 4 r + 40 = - 16$

خطوة 4.2

أضف $16$ إلى كلا المتعادلين.

$2 r^{2} + 4 r + 40 + 16 = 0$

خطوة 4.3

أضف $40$ و $16$ .

$2 r^{2} + 4 r + 56 = 0$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $2$ من $2 r^{2} + 4 r + 56$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 r^{2}$ .

$2 (r^{2}) + 4 r + 56 = 0$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4 r$ .

$2 (r^{2}) + 2 (2 r) + 56 = 0$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $2$ من $56$ .

$2 r^{2} + 2 (2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

خطوة 4.4.4

أخرِج العامل $2$ من $2 r^{2} + 2 (2 r)$ .

$2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

خطوة 4.4.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28$ .

$2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$

خطوة 4.5

اقسِم كل حد في $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اقسِم كل حد في $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 4.5.2.1.2

اقسِم $r^{2} + 2 r + 28$ على $1$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = \frac{0}{2}$

خطوة 4.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = 0$

خطوة 4.6

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.7

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 2$ و $c = 28$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $r$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 28$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.1.2.2

اضرب $- 4$ في $28$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 112}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.1.3

اطرح $112$ من $4$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.1.4

أعِد كتابة $- 108$ بالصيغة $- 1 (108)$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (108)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.1.7

أعِد كتابة $108$ بالصيغة $6^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1.7.1

أخرِج العامل $36$ من $108$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.1.7.2

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.1.9

انقُل $6$ إلى يسار $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.8.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.8.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$r = - 1 \pm 3 i \sqrt{3}$

خطوة 4.9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$r = - 1 + 3 i \sqrt{3}, - 1 - 3 i \sqrt{3}$